固有空間の基底計算機

行列のサイズを選択

行列の要素を入力

基本的な使い方

1. 行列のサイズ（2×2、3×3、4×4）を選択します
2. 行列の各要素を入力欄に記入します
3. 「固有空間の基底を計算」ボタンをクリックします
4. 各固有値に対する固有空間の基底と次元が表示されます

入力例

• 2×2行列: [[2, 1], [0, 2]]
• 3×3行列: [[1, 0, 0], [0, 2, 1], [0, 0, 2]]
• 対角行列: [[3, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 2]]

注意事項

• 正方行列のみ入力可能です
• 小数点は「.」を使用してください
• 分数は小数に変換して入力してください
• 負の数は「-」記号を先頭に付けてください

固有空間とは、行列 $A$ の固有値 $\lambda$ に対して、方程式 $(A - \lambda I)x = 0$ を満たすベクトル $x$ 全体の集合です。

重要な概念

• 基底: 固有空間を張る最小の線形独立なベクトルの集合
• 次元: 基底ベクトルの個数（幾何的重複度）
• 代数的重複度: 特性多項式における固有値の重複度

計算手順

1. 特性多項式 $\det(A - \lambda I) = 0$ から固有値を求める
2. 各固有値 $\lambda$ に対して $(A - \lambda I)x = 0$ を解く
3. 解空間の基底を求める
4. 基底の個数から固有空間の次元を決定する

固有空間の基底は、固有ベクトルを一つずつ並べるだけではなく、同じ固有値に対応する解空間をまとめて表すための最小セットです。固有値を求める段階では特性方程式（固有方程式）を使い、基底を求める段階では連立一次方程式として (A - λI)x = 0 を解きます。

固有値そのものの計算を詳しく確認したい場合は、まず 固有値計算機 で特性方程式を確認してから、この固有空間の基底計算機で各固有値の解空間を確認すると理解しやすくなります。

固有ベクトルと固有空間の基底は同じですか？

近い概念ですが同じではありません。固有ベクトルは条件を満たす非ゼロベクトルで、固有空間の基底はその固有空間全体を表すために選んだ線形独立なベクトルの組です。

基底ベクトルが複数出るのはなぜですか？

同じ固有値に対する解空間が 2 次元以上になる場合、1 本のベクトルだけでは全体を表せません。そのため、互いに独立な複数の基底ベクトルが表示されます。

計算結果が固有値計算機の固有ベクトルと違って見えるのはなぜですか？

固有ベクトルは定数倍しても同じ方向を表します。たとえば [1, 2] と [2, 4] は同じ固有空間を張るため、表示形式が違っても意味が一致することがあります。