積分計算の解き方完全ガイド
置換積分・部分積分・定積分まで
積分は微分と並ぶ微積分学の二本柱。でも「どの解法を使えばいいの？」と迷う人は多いはず。この記事では、不定積分・定積分の基礎から、置換積分・部分積分の具体的な手順まで、豊富な例題とともに丁寧に解説します。計算に詰まったときは積分計算機も活用してみてください。
積分とは何か
積分（せきぶん）とは、ひとことで言えば微分の逆演算です。関数 f(x) の導関数が F'(x) = f(x) であるとき、F(x) を f(x) の原始関数（不定積分）と呼びます。
もう少し直感的に言うと、積分はグラフと x 軸の間の「面積」を求める操作です。速度のグラフを積分すれば移動距離が、加速度を積分すれば速度が得られる——そんなふうに、積分は変化量から累積量を取り出す道具として、物理・工学・経済学など幅広い分野で使われています。
∫ は「Sum（和）」の頭文字 S を細長く伸ばした形。ライプニッツが17世紀に考案しました。積分の歴史（Wikipedia）
不定積分と定積分の違い
| 種類 | 記法 | 結果 | 用途 |
|---|---|---|---|
| 不定積分 | ∫ f(x) dx | 関数 F(x) + C | 原始関数を求める |
| 定積分 | ∫[a→b] f(x) dx | 数値 F(b) − F(a) | 面積・累積量を求める |
C は積分定数（任意の定数）。不定積分では必ず付けます。
基本積分公式一覧
まずはこの表を頭に入れておきましょう。すべての積分計算の出発点になります。
| 関数 f(x) | 不定積分 ∫f(x)dx | 条件 |
|---|---|---|
| xα | xα+1 / (α+1) + C | α ≠ −1 |
| 1/x | log|x| + C | x ≠ 0 |
| ex | ex + C | — |
| ax | ax / log(a) + C | a > 0, a ≠ 1 |
| sin(x) | −cos(x) + C | — |
| cos(x) | sin(x) + C | — |
| 1/cos²(x) | tan(x) + C | — |
| 1/sin²(x) | −cot(x) + C | — |
| 1/√(1−x²) | arcsin(x) + C | |x| < 1 |
| 1/(1+x²) | arctan(x) + C | — |
定数倍と和は積分の外に出せます。これを使えば多項式の積分は各項ごとに計算できます。
不定積分の解き方
不定積分は「微分したら f(x) になる関数を探す」作業です。答えには必ず積分定数 C を付けます。
問題：∫(3x² + 2x − 5) dx を求めよ
∫3x² dx + ∫2x dx − ∫5 dx
= 3 · x³/3 + 2 · x²/2 − 5x + C
= x³ + x² − 5x + C
検算：(x³ + x² − 5x + C)' = 3x² + 2x − 5 ✓
問題：∫(ex + 2sin(x)) dx を求めよ
∫ex dx + 2∫sin(x) dx
= ex + 2·(−cos(x)) + C
= ex − 2cos(x) + C
問題：∫(1/x + √x) dx を求めよ
∫(1/x) dx + ∫x1/2 dx
= log|x| + x3/2/(3/2) + C
= log|x| + (2/3)x3/2 + C
定積分の解き方
定積分の手順はシンプルです。
問題：∫[0→2] (x² + 1) dx を求めよ
F(x) = x³/3 + x
F(2) − F(0) = (8/3 + 2) − (0 + 0)
= 8/3 + 2 = 14/3
問題：∫[0→π] sin(x) dx を求めよ
F(x) = −cos(x)
F(π) − F(0) = −cos(π) − (−cos(0))
= −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2
幾何的意味：y = sin(x) と x 軸の間の面積が 2 であることを表します。
定積分の重要な性質
| 性質 | 式 |
|---|---|
| 上下限の交換 | ∫[a→b] f(x)dx = −∫[b→a] f(x)dx |
| 区間の分割 | ∫[a→b] f(x)dx = ∫[a→c] f(x)dx + ∫[c→b] f(x)dx |
| 同じ上下限 | ∫[a→a] f(x)dx = 0 |
| 偶関数（対称区間） | ∫[−a→a] f(x)dx = 2∫[0→a] f(x)dx （f が偶関数） |
| 奇関数（対称区間） | ∫[−a→a] f(x)dx = 0 （f が奇関数） |
置換積分法の解き方
置換積分は、複雑な関数を「変数を置き換える」ことでシンプルにする手法です。合成関数の積分に特に有効です。
置換積分の手順（不定積分）
問題：∫(2x+1)5 dx を求めよ
u = 2x + 1 とおく → du = 2dx → dx = du/2
∫u5 · (du/2) = (1/2)∫u5 du
= (1/2) · u6/6 + C = u6/12 + C
u を戻す：(2x+1)6/12 + C
問題：∫x·ex² dx を求めよ
u = x² とおく → du = 2x dx → x dx = du/2
∫eu · (du/2) = (1/2)∫eu du
= (1/2)eu + C
u を戻す：(1/2)ex² + C
問題：∫[0→1] 2x(x²+1)3 dx を求めよ
u = x² + 1 とおく → du = 2x dx
積分区間の変換：x=0 → u=1、x=1 → u=2
∫[1→2] u3 du = [u4/4]12
= 16/4 − 1/4 = 15/4
問題：∫sin(3x) dx を求めよ
u = 3x とおく → du = 3dx → dx = du/3
∫sin(u) · (du/3) = (1/3)∫sin(u) du
= (1/3)(−cos(u)) + C
u を戻す：−(1/3)cos(3x) + C
部分積分法の解き方
部分積分は、2つの関数の積を積分するときに使う手法です。積の微分公式を逆向きに使います。
※ G(x) は g(x) の原始関数（G'(x) = g(x)）
f(x) の選び方のコツ
| 積分の形 | f(x) に選ぶもの | g(x) に選ぶもの | タイプ |
|---|---|---|---|
| ∫x·ex dx | x（微分で定数になる） | ex | 標準型 |
| ∫x·sin(x) dx | x | sin(x) | 標準型 |
| ∫x·log(x) dx | log(x)（必ずlogをf(x)に） | x | log含む型 |
| ∫ex·sin(x) dx | どちらでも可 | どちらでも可 | 同形出現型 |
問題：∫x·ex dx を求めよ
f'(x) = 1、G(x) = ex
∫x·ex dx = x·ex − ∫1·ex dx
= x·ex − ex + C
= (x−1)ex + C
問題：∫x·log(x) dx を求めよ
f'(x) = 1/x、G(x) = x²/2
∫x·log(x) dx = (x²/2)·log(x) − ∫(x²/2)·(1/x) dx
= (x²/2)log(x) − ∫(x/2) dx
= (x²/2)log(x) − x²/4 + C
= (x²/2)log(x) − x²/4 + C
問題：∫ex·sin(x) dx を求めよ
f(x) = sin(x)、g(x) = ex として部分積分：
I = ex·sin(x) − ∫ex·cos(x) dx
もう一度部分積分：∫ex·cos(x) dx = ex·cos(x) + ∫ex·sin(x) dx
代入：I = ex·sin(x) − ex·cos(x) − I
2I = ex(sin(x) − cos(x))
I = (ex/2)(sin(x) − cos(x)) + C
ポイント：I が両辺に現れたら移項して解く。これが「同形出現」の醍醐味です。
問題：∫[0→π] x·sin(x) dx を求めよ
[x·(−cos(x))]0π − ∫[0→π] 1·(−cos(x)) dx
= [−x·cos(x)]0π + ∫[0→π] cos(x) dx
= (−π·cos(π) + 0) + [sin(x)]0π
= π + (sin(π) − sin(0)) = π + 0 = π
よくある間違いと注意点
積分計算で点を落とすパターンはほぼ決まっています。事前に把握しておきましょう。
∫2x dx = x²
← C を忘れている！
∫2x dx = x² + C
← 不定積分には必ず C
u = x² として ∫[0→1] を ∫[0→1] のまま計算
← 区間も u の値に変換すること！
∫sin(x) dx = cos(x) + C
← マイナスが抜けている！正しくは −cos(x) + C
∫x·log(x) dx で log(x) を g(x) に選ぶ
← log は積分しにくいので必ず f(x) に！
∫(2x+1)5 dx = (2x+1)6/6 + C
← 内側の微分 (=2) で割るのを忘れずに！
積分の応用
面積の計算
定積分の最も身近な応用が面積の計算です。
2曲線間の面積：∫[a→b] |f(x) − g(x)| dx
問題：y = x² − 4 と x 軸で囲まれた面積を求めよ
交点：x² − 4 = 0 → x = ±2
[−2, 2] で f(x) ≤ 0 なので |f(x)| = −(x² − 4) = 4 − x²
S = ∫[−2→2] (4 − x²) dx = [4x − x³/3]−22
= (8 − 8/3) − (−8 + 8/3) = 16 − 16/3 = 32/3
物理学・工学での応用
| 分野 | 積分する量 | 得られる量 | 例 |
|---|---|---|---|
| 力学 | 速度 v(t) | 位置 x(t) | ∫v(t)dt = x(t) + C |
| 力学 | 加速度 a(t) | 速度 v(t) | ∫a(t)dt = v(t) + C |
| 電気 | 電流 i(t) | 電荷 q(t) | ∫i(t)dt = q(t) + C |
| 経済学 | 限界費用 MC(x) | 総費用 TC(x) | ∫MC(x)dx = TC(x) + C |
| 統計 | 確率密度関数 f(x) | 確率 P(a≤X≤b) | ∫[a→b] f(x)dx |
積分計算サイトの使い方
手計算で確認したい、あるいは複雑な積分を素早く解きたいときは、当サイトの積分計算機が便利です。
入力形式
- べき乗：
x^2（x の2乗） - 掛け算：
2*x（省略不可） - 三角関数：
sin(x)、cos(x) - 指数関数：
exp(x)またはe^x - 対数関数：
ln(x)またはlog(x) - ルート：
sqrt(x)
計算例
x^2 + 2*x + 1→ 多項式sin(x) + cos(x)→ 三角関数exp(x) + 1/x→ 指数＋分数x*exp(x)→ 部分積分が必要な形
難易度別練習問題
- ∫(x³ − 3x + 2) dx
- ∫cos(x) dx
- ∫ex dx
- ∫[0→1] x² dx
- x⁴/4 − 3x²/2 + 2x + C
- sin(x) + C
- ex + C
- 1/3
- ∫(3x − 1)4 dx
- ∫x·sin(x²) dx
- ∫[0→1] 2x·ex² dx
- ∫cos(2x + 1) dx
- (3x−1)5/15 + C
- −(1/2)cos(x²) + C
- e − 1
- (1/2)sin(2x+1) + C
- ∫x²·ex dx
- ∫x²·log(x) dx
- ∫[0→π/2] x·cos(x) dx
- ∫ex·cos(x) dx
- (x² − 2x + 2)ex + C
- (x³/3)log(x) − x³/9 + C
- π/2 − 1
- (ex/2)(sin(x) + cos(x)) + C